Question

计算?Σaxdydz+(z+a)2dxdyx2+y2+z2，其中Σ为下半球面z=-a2?x2?y2的上侧，a是大于零的常数

计算?Σaxdydz+(z+a)2dxdyx2+y2+z2，其中Σ为下半球面z=-a2?x2?y2的上侧，a是大于零的常数．

Answer 1

添加平面

1

：z＝0（x²+y²≤a²），取下侧，Ω是由Σ和

1

所围成的区域．
∴

?

Σ

axdydz+(z+a)2dxdy

x2+y2+z2

=

1

a

∫∫

axdydz+(z+a)2dxdy
=

1

a

∫∫

∑+∑1

axdydz+(z+a)2dxdy?

1

a

∫∫

∑1

axdydz+(z+a)2dxdy
=

1

a

(I1?I2)
其中I₁利用高斯公式，得
I₁=?

∫∫∫

Ω

[a+2(z+a)]dxdydz=?3a

∫∫∫

Ω

dxdydz?2

∫∫∫

Ω

zdxdydz
其中?3a

∫∫∫

Ω

dxdydz=?3a?

1

2

?

4

3

πa3＝?2πa4，
而另一个三重积分，利用球坐标计算
2

∫∫∫

Ω

zdxdydz＝2

∫

2π 0

dθ

∫

π π 2

dφ

∫

a 0

ρcosφρ2sinφdρ=?

πa4

2

∴I1＝?2πa4+

π

2

a4＝?

3

2

πa4．
由于∑₁在yoz面的投影为0，而在xoy面的投影为Dxy：x2+y2≤a2
∴I2＝?

∫∫

Dxy

a2dxdy＝?πa4
∴

?

Σ

axdydz+(z+a)2dxdy

x2+y2+z2

=

1

a

(?

3π

2

a4+πa4)＝?

1

2

πa3