Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x

已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若函数h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）′的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：alna+blnb＞（a+b）lna+b2．

Answer 1

（Ⅰ）∵直线l与函数f（x）的图象相切，且切点的横坐标为1．
∴切点坐标为P（1，ln1），即P（1，0）
∴f′（x）=

1

x

，即切线斜率为k=f′（1）=1，
∴直线l的方程为y=x-1
又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，设切点为Q（x₀，x₀-1）
∴

x0?1＝ 1 2 x 2 0 +mx0+ 7 2 g′(x0)＝x0+m＝1

，
解得m=-2或4
∵m＜0，∴x₀=-2
故所求直线方程为y=x-1，m的值是-2．
（Ⅱ）由（I）得g′（x）=x-2
∴h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+2
求导：h′（x）=

1

x

?1＝

1?x

x

，x＞0，
由h'（x）＞0得0＜x＜1，此时函数单调递增，
由h'（x）＜0得x＞1，此时函数单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，h（1）=ln1-1+2=1．
（Ⅲ）alna+blnb＞（a+b）ln

a+b

2

等价为

aln?a+bln?b

2

＞

a+b

2

ln?

a+b

2

，
设f（x）=x ln x，
则不等式等价为

f(a)+f(b)

2

＞f(

a+b

2

)，
即证明函数为凹函数即可．
则f'（x）=1+ln x，f''（x）=

1

x

＞0恒成立，
∴函数f（x）为凹函数，
即

f(a)+f(b)

2

＞f(

a+b

2

)成立，
∴alna+blnb＞（a+b）ln

a+b

2

成立．