Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，CA=1，CD是⊙O半径的 3 倍．（

如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，CA=1，CD是⊙O半径的 3 倍．（1）求⊙O的半径R；（2）如图1，弦DE ∥ CB，动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化，若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积；（3）如图2，动点M从A出发，在⊙O上按逆时针方向向B运动．连接DM，过D作DM的垂线，与MB的延长线交于点N，当点M运动到什么位置时，DN取到最大值？求此时动点M所经过的弧长．

Answer 1

（1）∵CD切⊙O于点D， ∴三角形CDO是直角三角形， ∵CA=1，CD是⊙O半径的 3 倍， ∴在直角△CDO中，CD 2 +OD 2 =CO 2 ， 则， ( 3 R) 2 +R 2 =（1+R） 2 ， ∴R=1； （2）∵DE ∥ CB， ∴动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中，△DEQ的底DE不变，底DE上的高不变， ∴△DEQ的面积不变，则阴影部分的面积不变； 由OD=1，CO=2， ∴∠C=30°，则∠COD=60°， ∴∠ODE=60°， ∵∠ODE=∠OED， ∴∠OED=60° ∴∠DOE=60°， ∴S 阴影 = 60° 360° ×πR 2 = 1 6 π； （3）如图，连接AD、BD， ∴∠DAB=∠DMN，又∠ADB=∠MDN=90°， ∴△ADB ∽ △MDN， 又AD=1，AB=2， ∴BD= 3 ， ∴ DN DM = BD AD = 3 ， ∴DN= 3 DM， ∴当DM为最大值，即DM过圆心O时，DN取到最大值； ∵∠AOD=60°， ∴∠AOM=120°， ∴ AM = 120° 360° ×2πR= 2 3 π．