Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°． ⑴求证：CD是⊙O的切线；⑵

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°． ⑴求证：CD是⊙O的切线；⑵若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求 的值．

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Answer 1

（1）证明：连结OD、DA ∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90° 又∠ABD=30°，∴AD= AB=OA 又AC=AO，∴∠ODC=90° ∴CD切⊙O于点D （2）方法一：连结PE，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC   ∴∠C=30° 又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE ∴PE= CP 又PE=BP=R，CA=AO=OB=r ∴3r=R，即   方法二：连结PE， 又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE ∴OD∥PE ∴ = 即  ，∴

（1）欲证：CD是⊙O的切线，只要转化为证明∠ODC=90°即可； （2）连接PE，易证 ，又PE=BP=R，CA=AO=OB=r，即可得到结果．