Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为射线AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交

在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为射线AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图1）请证明：BN=CD；（2）当M是BC中点时（如图2），请证明：CD=2CE；（3）在点H运动过程中（利用备用图探究），请直接写出BN、CE、CD三条线段之间的数量关系．

Answer 1

（1）证明：连接ND．
∵AO平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠4=∠5=90°，
∴∠6=∠7，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN=DC，
∴∠8=∠9．
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠3，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠3，
∴BN=DN．
∴BN=DC；

（2）证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'．
由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE．
∴∠4=∠3，NN'=CE．
过点C作CG∥AB交直线l于G．
∴∠4=∠2，∠B=∠1．
∴∠2=∠3．
∴CG=CE．
∵M是BC中点，
∴BM=CM．
在△BNM和△CGM中，

∠B＝∠1 BM＝CM ∠NMB＝∠GMC

，
∴△BNM≌△CGM．
∴BN=CG．
∴BN=CE．
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE．

（3）BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；
当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN．