Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，垂足为H．（1）求证：AC2=AH?AB．（2）当AB旋转到AE的位置时，弦AE的

如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，垂足为H．（1）求证：AC2=AH?AB．（2）当AB旋转到AE的位置时，弦AE的延长线与弦CD的延长线交于点F，此时是否仍有（1）的结论成立（即：AC2=AF?AE）？请说明理由．（3）过点F作⊙O的切线FP，切点为P，连接AP交CF于G，已知AC＝33，AE：EF=3：4，求FG的长．

Answer 1

解答：解：（1）证明：∵AB是直径，且CD⊥AB，∠ACB=∠AHC，
∴△ABC∽△ACH，
∴

AC

AH

＝

AB

AC

，即AC²=AH?AB．

（2）上面的结论成立．
连接CE；
∵直径AB⊥CD，
∴

CA

＝

AD

，即∠CEA=∠ACF，
又∵∠CAE=∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC²=AE?AF．

（3）连接OP，则OP⊥PF；
∵∠GPF=90°-∠OPA，∠AGH=90°-∠OAP，
且∠OPA=∠OAP，∠AGH=∠PGF，
∴∠GPF=∠PGF，即FP=FG；
设AE=3x，EF=4x；
∵AC²=AF?AE，
∴(3

3

)2＝7x?3x，∴x2＝

9

7

；
由切割线定理得：FP²=EF?AF，∴FP²=4x?7x=28x²=36，
∴FP=6，
故FG=FP=6．