如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直AB,垂足为H.(1)求证:AC2=AH?AB.(2)当AB旋转到AE的位置时,弦AE的
如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直AB,垂足为H.(1)求证:AC2=AH?AB.(2)当AB旋转到AE的位置时,弦AE的延长线与弦CD的延长线交于点F,此时是否仍有(1...
如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直AB,垂足为H.(1)求证:AC2=AH?AB.(2)当AB旋转到AE的位置时,弦AE的延长线与弦CD的延长线交于点F,此时是否仍有(1)的结论成立(即:AC2=AF?AE)?请说明理由.(3)过点F作⊙O的切线FP,切点为P,连接AP交CF于G,已知AC=33,AE:EF=3:4,求FG的长.
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解答:解:(1)证明:∵AB是直径,且CD⊥AB,∠ACB=∠AHC,
∴△ABC∽△ACH,
∴
=
,即AC2=AH?AB.
(2)上面的结论成立.
连接CE;
∵直径AB⊥CD,
∴
=
,即∠CEA=∠ACF,
又∵∠CAE=∠FAC,
∴△ACF∽△AEC,
∴AC2=AE?AF.
(3)连接OP,则OP⊥PF;
∵∠GPF=90°-∠OPA,∠AGH=90°-∠OAP,
且∠OPA=∠OAP,∠AGH=∠PGF,
∴∠GPF=∠PGF,即FP=FG;
设AE=3x,EF=4x;
∵AC2=AF?AE,
∴(3
)2=7x?3x,∴x2=
;
由切割线定理得:FP2=EF?AF,∴FP2=4x?7x=28x2=36,
∴FP=6,
故FG=FP=6.
∴△ABC∽△ACH,
∴
AC |
AH |
AB |
AC |
(2)上面的结论成立.
连接CE;
∵直径AB⊥CD,
∴
CA |
AD |
又∵∠CAE=∠FAC,
∴△ACF∽△AEC,
∴AC2=AE?AF.
(3)连接OP,则OP⊥PF;
∵∠GPF=90°-∠OPA,∠AGH=90°-∠OAP,
且∠OPA=∠OAP,∠AGH=∠PGF,
∴∠GPF=∠PGF,即FP=FG;
设AE=3x,EF=4x;
∵AC2=AF?AE,
∴(3
3 |
9 |
7 |
由切割线定理得:FP2=EF?AF,∴FP2=4x?7x=28x2=36,
∴FP=6,
故FG=FP=6.
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