Question

如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的角平分线交BC于D,求证:AB BD=AC用五种方法解答

如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的角平分线交BC于D,求证:AB+BD=AC用五种不同的方法解答
五种

Answer 1

（1）延长DB至E，使BE=AB。
得△ABE为等腰△
∴∠AEB=∠BAE=1/2∠B=∠C
∴△AEC为等腰△ AE=AC
又∠ADB=∠C+1/2∠A
∠DAE=∠C+1/2∠A
∴△AED也为等腰△ AE=ED=EB+BD
AE=AC EB=AB
∴AC=AB+BD

（2）延长AB至E，使BE=BD。则AE=AB+BD
同时，得△DBE为等腰△ BD=BE
且∠BED=∠BDE=1/2∠B=∠C
∴△AED全等△ADC（AD公共，∠E==∠C，1/2∠A=1/2∠A）
∴AE=AC
∴AC=AB+BD

补充第3、4。它们与1、2相似。只是步骤不同

（3）设角被评分为∠A1=∠A2=1/2∠A,
延长DB至E，使AE=AC。得△AEC为等腰△
∴∠E=∠C
又∠B=2∠C
∴∠BAE=∠C
∴△AEB也为等腰△, AB=BE
另外△AED中:
又∠ADE=∠C+1/2∠A
∠DAE=∠C+1/2∠A
∴△AED也为等腰△, AE=ED=EB+BD
AE=AC EB=AB
∴AC=AB+BD
(4) 设角被评分为∠A1=∠A2=1/2∠A,
延长AB至E，使AE=AC。则AE=AB+BE
在△AED全等△ADC中:
AE=AC，AD公共， ∠A1=∠A2=1/2∠A
∴△AED全等△ADC
∴∠E=∠C
∵∠B=2∠C
∴∠BDE=∠C
∴△DBE为等腰△ BD=BE
∴AC=AE=AB+BE
=AB+BD
(5) 设角被评分为∠A1=∠A2=1/2∠A,
在AC上取AE=AB
∴△ABE为等腰△ , △DBE也为等腰△, BD=ED
其中∠A=180-(∠B+∠C)=180-3∠C
∴底角∠ABE=∠AEB=[180-(∠A)]/2
=[180-(180-3∠C)]/2
=1.5∠C
△DBE的底角∠DBE=∠DEB=(2-1.5)∠C=0.5∠C
∴∠EDC=2∠DBE=∠C
∴EC=ED=BD
∵AE=AB
∴AC=AE+EC
=AB+BD

Answer 2

1）延长DB至E，使BE=AB。
得△ABE为等腰△
∴∠AEB=∠BAE=1/2∠B=∠C
∴△AEC为等腰△ AE=AC
又∠ADB=∠C+1/2∠A
∠DAE=∠C+1/2∠A
∴△AED也为等腰△ AE=ED=EB+BD
AE=AC EB=AB
∴AC=AB+BD

（2）延长AB至E，使BE=BD。则AE=AB+BD
同时，得△DBE为等腰△ BD=BE
且∠BED=∠BDE=1/2∠B=∠C
∴△AED全等△ADC（AD公共，∠E==∠C，1/2∠A=1/2∠A）
∴AE=AC
∴AC=AB+BD

补充第3、4。它们与1、2相似。只是步骤不同

（3）设角被评分为∠A1=∠A2=1/2∠A,
延长DB至E，使AE=AC。得△AEC为等腰△
∴∠E=∠C
又∠B=2∠C
∴∠BAE=∠C
∴△AEB也为等腰△, AB=BE
另外△AED中:
又∠ADE=∠C+1/2∠A
∠DAE=∠C+1/2∠A
∴△AED也为等腰△, AE=ED=EB+BD
AE=AC EB=AB
∴AC=AB+BD
(4) 设角被评分为∠A1=∠A2=1/2∠A,
延长AB至E，使AE=AC。则AE=AB+BE
在△AED全等△ADC中:
AE=AC，AD公共， ∠A1=∠A2=1/2∠A
∴△AED全等△ADC
∴∠E=∠C
∵∠B=2∠C
∴∠BDE=∠C
∴△DBE为等腰△ BD=BE
∴AC=AE=AB+BE
=AB+BD
(5) 设角被评分为∠A1=∠A2=1/2∠A,
在AC上取AE=AB
∴△ABE为等腰△ , △DBE也为等腰△, BD=ED
其中∠A=180-(∠B+∠C)=180-3∠C
∴底角∠ABE=∠AEB=[180-(∠A)]/2
=[180-(180-3∠C)]/2
=1.5∠C
△DBE的底角∠DBE=∠DEB=(2-1.5)∠C=0.5∠C
∴∠EDC=2∠DBE=∠C
∴EC=ED=BD
∵AE=AB
∴AC=AE+EC
=AB+BD

Answer 3

方法三：
在AC上取点E，使AE=AB
连接DE，得△ABD和△AED为相等三角形，BD=DE，∠ABD=∠AED
又∠ABD=2∠C
∠AED=∠C+∠EDC
∴∠EDC=∠C
∴△EDC为等腰三角形，EC=ED=BD
∴AC=AE+EC=AB+BD

Answer 4

解
：
添辅助线be垂直于ac交于e点，be交ad于f点，连接de
因为：ad为∠bac的角平分线，ad垂直于be，
因此：三角形abe是等腰三角形
bf=fb
又因为：ad垂直于be，
所以：三角形bde也是等腰三角形
bd=de
因为
三角形abe和三角形bde皆为等腰三角形
因此
∠abd=∠aed=2∠角c
因此
∠dec=180-∠aed=180-2∠c
因此（180-2∠c）
∠edc
∠c=180
约分得出∠ed4=∠c
因此
三角形edc也是等腰三角形
ed=ec
因为
ac=ae
ec
ae=ab
，
bd=de=ec
所以
ab
bd=ac
得证