Question

已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。（1）求证：AM

已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。（1）求证：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长。

Answer 1

解：（1）如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 又∵EF⊥AC， ∴ME∥BD， ∴ ， ∵E为AB的中点， ∴M为AD的中点， ∴AM=DM；
（2）∵AB∥DC， ∴∠AEM=∠F， ∵∠AME=∠DMF，AM=DM， ∴△AEM≌△DFM， ∴AE=DF=2， ∴AB=2AE=4， ∴菱形ABCD的周长为16。