Question

已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．

（1）求证：AM=DM；（不用三角形相似证）
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，
∴AE=AM= 12AB= 12AD，
∴AM=DM．

（2）AB∥CD，
∴∠AEM=∠F．
又∠FMD=∠AME，△DFM是等腰三角形，
∴∠AME=∠AEM．
∴DF=DM= 12AD．
∴AD=4．
∴菱形ABCD的周长是16

Answer 2

证明：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO平分∠BAD，AC⊥BD，
∵EF⊥AC，点E是AB中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴M是AD的中点；
（2）在△AME和△DMF中，
∵∠EAM=∠FDM，AM=DM，∠AME=∠DMF，
∴△AME≌△DMF，
∴DF=AE，
∵AE=1 2 AB=1 2 CD，
∴DF=1 2 CD．

Answer 3

证明：连接BD，则：BD⊥AC，
所以：EF‖BD(垂直同一条直线的两条直线平行）
而：BE‖DF
所以：四边形EBDF是平行四边形
所以：FD=EB
而AE=BE
所以：AE=DF
由于：AE‖DF
所以：∠F=∠AEM,∠FDM=∠EAM
所以：△FDM≌△EAM
所以：AM=DM

若DF=2,则AB=2DF=4.即菱形的边长为4，所以：菱形周长为16