Question

如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）证明：AM=DM；

如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）证明：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；（3）在没有辅助线的前提下，图中共有______对相似三角形．

Answer 1

（1）证明：连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵EM⊥AC，

∴EM ∥ BD，

∵E为AB的中点，

∴M为AD的中点，

∴AM=DM；



（2）∵EB ∥ FD，EM ∥ BD，

∴四边形FDBE是平行四边形，

∴FD=BD，

∵DF=2，

∴BE=2，

∴AB=2BE=2×2=4，

∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；



（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：

△AGE ∽ △AGM，△AGE ∽ △CGF，△AGM ∽ △CGF，△AEM ∽ △DFM，△ABC ∽ △ADC共5对．