Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为 ， ∵椭圆的离心率为 ， ∴a 2 =4b 2 ， 又∵M（4，1）， ∴ ， 解得b 2 =5，a 2 =20， 故椭圆方程为 （2）将y=x+m代入 并整理得5x 2 +8mx+4m 2 ﹣20=0， ∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B ∴△=（8m） 2 ﹣20（4m 2 ﹣20）＞0， 解得﹣5＜m＜5 （3）设直线MA，MB的斜率分别为k 1 和k 2 ，只要证明k 1 +k 2 =0． 设A（ ， ），B（x 2 ，y 2 ）， 根据（2）中的方程，利用根与系数的关系得： ． 上式的分子=（ +m﹣1）（x 2 ﹣4）+（x 2 +m﹣1）（ ﹣4） =2 x 2 +（m﹣5）（ +x 2 ）﹣8（m﹣1） = 所以k 1 +k 2 =0，得直线MA，MB的倾斜角互补 ∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形