Question

规定maxf（x），g（x）=f(x)，f(x)≥g(x)g(x)，f(x)＜g(x)，若定义在R上的奇函数F（x）满足：当x＞0时，F

规定maxf（x），g（x）=f(x)，f(x)≥g(x)g(x)，f(x)＜g(x)，若定义在R上的奇函数F（x）满足：当x＞0时，F（x）=max1-log2x，1+log2x．（1）求F（x）的解析式，并写出F（x）的单调区间；（2）若方程F（x）=m有唯一实数解，求实数m的值；（3）求t＞0时，函数y=F（x）在x∈[t，2]上的值域．

Answer 1

解：（1）根据题意和奇函数的定义得，F(x)＝

?1?log2(?x)?x∈(?∞，?1) ?1+log2(?x)?x∈[?1，0) ??0????x＝0 1?log2x???x∈(0，1] 1+log2x???x∈(1，+∞)

，
由函数解析式和对数函数的图象作出此函数图象如右图：
由图得，F（x）增区间为（1，+∞），（-∞，-1），
减区间为（0，1），（-1，0），
（2）由函数的解析式和图象得，方程F（x）=m有唯一实数解时，有m=-1，0，1，
（3）由函数解析式求得，F(

1

2

)＝F(2)，故分三种情况求值域：
当0＜t＜

1

2

时，则函数在此区间上是减函数，故y=F（x）值域为[1，1-log₂t]，
当

1

2

≤t≤1时，则函数在此区间上是减函数，故y=F（x）值域为[1，2]
当1＜t≤2时，则函数在此区间上是增函数，故y=F（x）值域为[1+log₂t，2]．