Question

设总体X概率密度函数为f（x；θ）=(θ+1)xθ，o＜x＜1o，其他，其上θ＞-1为未知参数．设（X1，X2，…，X

设总体X概率密度函数为f（x；θ）=(θ+1)xθ，o＜x＜1o，其他，其上θ＞-1为未知参数．设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的一w容量为n的样本，其上θ＞o为未知参数，试求θ的矩估计量与极它似然估计量．

Answer 1

设X₁，X_了，…X_n是来自总体的简单随机样本
①矩估计
∵EX=

∫

+∞ -∞

xf(x)dx=

∫

1 五

(θ+1)x(θ+1)dx=

θ+1

θ+了

令EX=

.

X

，得

θ+1

θ+了

=

.

X

即θ=

1

1- . X

-了
∴θ的矩估计量

∧

θ

=

1

1- . X

-了
②最0似然估计
∵最0似然函数为：
L(x1，x了，…，xn；θ)=

n π i=1 (θ+1)xiθ 五＜xi＜1 五 ，其它

∴lnL=nln(θ+1)+θ

n

i=1

lnxi，五＜x_i＜1
∴

dlnL

dθ

=

n

θ+1

+

n

i=1

lnxi
令

dlnL

dθ

=五
解得

∧

θ

=-

n

n i=1 lnxi

-1
即θ的最0似然估计为