Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）若对一切x∈（0，

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）若对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
由f′（x）=1+lnx＜0，可得0＜x＜

1

e

，f′（x）=1+lnx＞0，可得x＞

1

e

，
∴函数f（x）的减区间为（0，

1

e

），增区间为（

1

e

，+∞）．
∴x=

1

e

时，函数取得最小值-

1

e

；
（Ⅱ）∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴2xlnx≥-x²+ax-3，
∴a≤2lnx+x+

3

x

，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

，
则h′（x）=

(x+3)(x?1)

x2

当x＞1时，h（x）是增函数，
当0＜x＜1时，h（x）是减函数，
∴a≤h（1）=4．
即实数a的取值范围是（-∞，4]．