Question

已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-4x+2，若对任意x1∈（0，+

已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-4x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）=lnx+ax（a∈R）的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=

1+ax

x

，
①当a≥0时，f′（x）=

1+ax

x

＞0，
则函数f（x）=lnx+ax（a∈R）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，x∈（0，?

1

a

）时，f′（x）=

1+ax

x

＞0，
则函数f（x）=lnx+ax（a∈R）在（0，?

1

a

）上单调递增；
x∈（?

1

a

，+∞）时，f′（x）=

1+ax

x

＜0，
则函数f（x）=lnx+ax（a∈R）在（?

1

a

，+∞）上单调递减．
综上所述，
当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，?

1

a

）；单调递减区间为（?

1

a

，+∞）．
（2）∵g（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2在[0，1]上单调递减，
则-1≤g（x₂）≤2，
则问题转化为，
对任意x₁∈（0，+∞），都有f（x₁）＜2成立．
①当a≥0时，上式显然不成立；
②当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，?

1

a

）；单调递减区间为（?

1

a

，+∞）．
则f（?

1

a

）=ln（?

1

a

）+a?（?

1

a

）＜2；
解得a＜-e^-3．