Question

已知函数f（x）=3sin2x+cos2x+12cosx（1）求f（x）的定义域和值域；（2）若曲线f（x）在点P（x0，f（x0）

已知函数f（x）=3sin2x+cos2x+12cosx（1）求f（x）的定义域和值域；（2）若曲线f（x）在点P（x0，f（x0））（-π2＜x0＜π2）处的切线平行直线y=3x，求在点P处的切线方程．

Answer 1

（1）f(x)＝

2 3 sinxcosx+2cos2x?1+1

2cosx

=

3

sinx+cosx＝2sin(x+

π

6

)

由2cosx≠0，得x≠kπ+ π 2 (k∈Z)， ∴f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+ π 2 ，k∈Z} x+ π 6 ≠kπ+ 2π 3 (k∈Z)时，?2≤y≤2

，
∴f（x）的值域为[-2，2]．…（6分）
（2）f/(x)＝

3

cosx?sinx由题意得

f/(x0)＝ 3 cosx0?sinx0 ＝2cos(x0+ π 6 ) ＝ 3

∴cos(x0+

π

6

)＝

3

2

又∵?

π

3

＜x0+

π

6

＜

2π

3

，∴x0+

π

6

＝

π

6

或?

π

6

，∴x0＝0或?

π

3

切点为P(0，1)或P(?

π

3

，?1)，
切线方程为：y＝

3

x+1和y＝

3

x+

3 π

3

?1．…（12分）