Question

如图所示，将边长为8cm的正方形纸片abcd折叠，使得点d落在bc中点e处，点a落在f处 折痕为MN，求线段MN的长

如图所示，将边长为8cm的正方形纸片abcd折叠，使得点d落在bc中点e处，点a落在f处 折痕为MN，求线段MN的长

Answer 1

在RTΔCEN中，CE=4，CE+CN=8，
(8-CN)^2=CN^2+16，
∴CN=3，EN=5，
设EF交AB于G，
又ΔBEG∽ΔCNE，
∴BG/CE=BE/CN，
BG=16/3，
∴AG=8/3，CG=EG=20/3，
在RTΔMFG中，sin∠FGM=FM/MG=AM/MG=3/5，
∴AM/(8/3-AM)=3/5，
AM=5/3，
过M作MH⊥CD于H，
HN=8-5/3-3=10/3，
∴MN=√［10^2+(10/3)^2］
=10√10/3。

Answer 2

∵E为bc中点
∴NC²+16=NE²
∵NC+DN = 8,NE=DN
∴DN= NE=5,NC=3
设EF交AB于G
ΔEBG∽ΔNCE∽MFG
∴NC/EC=3/4=BE/BG
∴BG=16/3
∵NC/EN=BE/EG=AM/MG=3/5,AM=MF
∴MG=5/3AM
∵BG+MG+AM=8
∴AM=1
过M作MH⊥CD于H

∴AM= DH = 1,HN = 4

根据三角形面积的海伦公式
可得MN =4√2