Question

（本小题 10 分）如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90 D是AB 边上的一点，以BD为直径的⊙0与边 AC 相切于点E，

（本小题 10 分）如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90 D是AB 边上的一点，以BD为直径的⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD =" BF" ;( 2 ）若 BC =" 12" , AD =" 8" ，求 BF 的长．

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Answer 1

.证明：（1）连结OE， ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED ∵⊙O与边 AC 相切于点E，∴OE⊥AE，∴∠OEA=90° ∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB，∴OE∥BC，∴∠F=∠OED ∴∠ODE=∠F ∴BD=BF （2）过D作DG⊥AC于G，连结BE， ∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC ∵BD为直径，∴∠BED=90° ∵BD=BF，∴DE=EF 在△DEG和△FEC中 ∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF ∴△DEG≌△FEC ∴DG=CF ∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC ∴ ∴ ∴ ∴ 或 （舍去） ∴BF=BC+CF=12+4=16

略