Question

如图1，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，点C是劣弧AB上一动点，点C不与点A、B重合，CD⊥AB于D，以点C为圆心，

如图1，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，点C是劣弧AB上一动点，点C不与点A、B重合，CD⊥AB于D，以点C为圆心，线段CD的长为半径作圆．（1）若设CD=x，AC?BC=y，请求出y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；（2）当⊙C的面积最大时，在图2中过点A作⊙C的切线AG切⊙C 于点P，交DC的延长线于点G，DC的延长线交⊙C于点F①试判断直线AG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；②求线段GF的长．





Answer 1

解：（1）如图1，连接CO，并延长交⊙O于点E，连接BE．
∵CE是直径，
∴∠CBE=90°．
又∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°．
即∠CBE=∠CDA．
在⊙O中，可知∠CAB=∠E．
∴△ACD∽△ECB．
∴

AC

EC

＝

CD

BC

，
即AC?BC=CD?EC．
∴y=10x．（2分）
由题意可知，自变量x的取值范围为0＜x≤2．（3分）

（2）①直线AG与⊙O相切．
由题意可知，当点C是

AB

的中点时，⊙C的面积最大．
此时，OC⊥AB．∴AB与⊙C相切．
∵AG切⊙C于点P，AC平分∠GAB．即∠GAC=∠BAC．
连接CP，AO．
∵AP=AD，PC=DC，AC=AC，
∴△APC≌△ADC．
∴∠ACP=∠ACD．
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC．
∵AG切⊙C于点P，
∴PC⊥AG于G．
∴∠GAC+∠ACP=90°．
∴∠GAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AG．
∴AG与⊙O相切．（6分）
②∵PC⊥AG，OA⊥AG，∴PC∥AO．
∴△PGC∽△AGO．
∴

PC

GC

＝

AO

GO

．
由题意可知，PC=FC=2，AO=CO=5，GC=GF+FC．
∴

2

GF+2

＝

5

GF+7

．
解得GF＝

4

3

．（8分）