Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则当x∈[-4，4]时不等式x

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则当x∈[-4，4]时不等式x?f′（x）＜0的解集为（　　）A．（-2，0）∪（2，4）B．（-4，-2）∪（0，2）C．（-2，0）D．（0，2）

Answer 1

由f（x-4）=-f（x）得f（x-8）=-f（x-4）=-[-f（x）]=f（x），
即函数的周期是8．
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），
即函数关于

x?4?x

2

＝?2对称．
∴f（0）=0，f（-4）=-f（0）=0，f（4）=0．
∵在区间[0，2]上f（x）是增函数，
∴f（x）在[-2，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[-4，-2]上是减函数．
作出函数的草图如图：
若x=0时，不等式x?f′（x）＜0不成立．
若x＞0，则不等式x?f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时2＜x＜4．
若x＜0，则不等式x?f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时-2＜x＜0，
故不等式x?f′（x）＜0的解集为（-2，0）∪（2，4）．
故选：A．