Question

已知数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且b1＝1，bn＞0，数列{

已知数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且b1＝1，bn＞0，数列{ban}是公比为64的等比数列．（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求证：1S1+1S2+…+1Sn＜34．

Answer 1

（I）依题意有：a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1，
设{bn}的公比为q，则bn＝qn?1，
∵数列{ban}是公比为64的等比数列，
∴

ba2

ba1

＝

b5

b3

=q²=64，解得q=8，
∴bn＝8n?1；
（II）由（Ⅰ）可得，S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

Sn

＝

1

n(n+2)

＝

1

2

(

1

n

?

1

n+2

)，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＝

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1?

1

3

+

1

2

?

1

4

+

1

3

?

1

5

+…+

1

n

?

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

?

1

n+1

?

1

n+2

)＜

3

4

．