Question

已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA

已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）（1）求A、B、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，使△BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

（1）∵OA：OB：OC=1：3：3，
∴设OA=k，OB=3k，OC=3k，
则AB=OA+OB=k+3k=4k，
S_△ABC=

1

2

×4k?3k=6，
解得k=1，
∴OA=1，OB=3，OC=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）把点A、B、C的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c得，

a?b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝3

，
解得

a＝?1 b＝2 c＝3

，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（3）根据三角形的面积，当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP面积最大，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设与直线BC平行的直线为y=-x+b，
联立

y＝?x2+2x+3 y＝?x+b

，
消掉y得，x²-3x+b-3=0，
△=（-3）²-4×1×（b-3）=0，
即b=

21

4

时，直线与抛物线只有一个交点，△BCP面积最大，
此时，x=-

?3

2×1

=

3

2

，
y=-

3

2

+

21

4

=

15

4

，
所以，点P的坐标为（

3

2

，

15

4

），
过点P作PD⊥x轴于D，
则S_△BCP=S_梯形ODPC+S_△PBD-S_△OBC
=

1

2

×（3+

15

4

）×

3

2

+

1

2

×（3-

3

2

）×

15

4

-

1

2

×3×3
=

81

16

+

45

16

-

9

2

=

27

8

．