Question

如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 2 3

如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 2 3 ．（1）求证：△CDE ∽ △CBA；（2）求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形， ∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）； 又∠C=∠C， ∴△CDE ∽ △CBA． （2）解法1：连接AE． 由（1）得 DE BA = CE CA ， ∵猜颤饥洞碰AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=∠AEC=90°． 在Rt△AEC中，∵∠C=60°，∴∠CAE=30°； ∴ DE BA = CE CA = 1 2 ，即DE=2 3 ． 解法2：连接DO，EO． ∵AO=DO=OE=OB，穗返 ∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB； ∵四边形ABED为⊙O的内接四边形， ∴∠A=∠CED，∠B=∠CDE； 而∠CDE+∠CED=120°，∠A+∠B+∠ADE+∠DEB=360°， ∴∠ODE+∠OED=120° 则∠DOE=60°， ∴△ODE为等边三角形； ∴DE=OB=2 3 ．