Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE= 3 ，

如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE= 3 ，若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为______．

Answer 1

∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB ∴AD⊥平面ABCD， 可得Rt△ADE中，AD=1，AE= 3 ， ∴∠AED=30°，同理得到∠BEC=30° ∵△CDE中，CD=DE=CE=2，∴∠DEC=60°， 将四棱锥E-ABCD的侧面AED、DEC、CEB沿DE、CE展开铺平如图， 则展开图△ABE中，∠AEB=120°，由余弦定理得 AB 2 =AE 2 +BE 2 -2AE?BE?cos120°=3+3-2×3×（- 1 2 ）=9， 解之得AB=3，即AM+MN+BN的最小值为3． 故答案为：3．