Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（1）若P为DF的中点，求证：BF∥平面ACP（2）若直线PC与平面FAD所成角的正弦值为23，求PF的长度．

Answer 1

证明：（1）连接BD，交AC于点O，连接OP．
∵P是DF中点，O为矩形ABCD对角线的交点，
∴OP为三角形BDF中位线，…（3分）
∴BF∥OP，
又∵BF?平面ACP，OP?平面ACP，
∴BF∥平面ACP．   …（6分）
解：（2）∵∠BAF=90°，
∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AF⊥平面ABCD，…（8分）
∴AF⊥CD
∵四边形ABCD为矩形
∴AD⊥CD                …（10分）
又∵AF∩AD=A，AF，AD?平面FAD
∴CD⊥平面FAD
∴∠CPD就是直线PC与平面FAD所成角…（12分）
∴sin∠CPD=

2

3

，
又∵AD=2，AB=CD=AF=1，
∴DF=

AD2+AF2

=

5

，PD=

PC2?CD2

=

( 3 2 CD)2?CD2

=

5

2

，
∴得PF=DF-PD=

5

2

                        …（14分）