Question

如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A

如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点．不计空气阻力．试求：（1）当m在A点时，弹簧的弹性势能的大小；（2）物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小；（3）如果半圆形轨道也是光滑的，其他条件不变，当物体由A经B运动到C，然后落到水平面，落点为D（题中D点未标出，且水平面足够长），求D点与B点间距离．

Answer 1

（1）物块在B点时，由牛顿第二定律得：FN?mg＝m

v 2 B

R

  F_N=7mg
在物体从A点到B点的过程中，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能：Ep＝

1

2

m

v

2 B

联立以上三式得：Ep=3mgR
（2）物体到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有mg＝m

v 2 c

R

物体从B点到C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：W阻?mg×2R＝

1

2

mvC2?

1

2

m

v

2 B

，
解得W_阻=-0.5mgR
物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小为0.5mgR
（3）在物体从B点到C点的过程中，根据动能定理有：?mg×2R＝

1

2

m

v

2 C

?

1

2

m

v

2 B

，
解得    vC＝

2gR

由C点到D点，物体做平抛运动，有：
水平方向：X_BD=v_Ct
竖直方向：2R＝

1

2

gt2
解得：XBD＝2

2

R
答：（1）弹簧的弹性势能的大小为3mgR；
（2）物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小为0.5mgR；
（3）D点与B点间距离XBD＝2

2

R．