Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 3 2 sin2A=sinCcosB+sinBcosC ，（Ⅰ）求sinA的

在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 3 2 sin2A=sinCcosB+sinBcosC ，（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若 a=1，cosB+cosC= 2 3 3 ，求边c的值．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，由 3 2 sin2A=sinCcosB+sinBcosC 得 3sinAcosA=sin（B+C）=sinA．----（2分）， 由于△ABC中，sinA＞0，∴3cosA=1， cosA= 1 3 ，----------（4分）∴ sinA= 1- cos 2 A = 2 2 3 ．----（6分） （Ⅱ）由 cosB+cosC= 2 3 3 得 -cos(A+C)+cosC= 2 3 3 ，--------（7分） 即 sinAsinC-cosAcosC+cosC= 2 3 3 ，∴ 2 2 3 sinC+ 2 3 cosC= 2 3 3 ，-------（9分） 化简得 2 sinC+cosC= 3 ， cosC= 3 - 2 sinC ，平方得 sinC= 6 3 ，--------（12分） 由正弦定理得 c= asinC sinA = 3 2 ．------（14分）