Question

如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，∠ BAC =∠ AG

如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，∠ BAC =∠ AGF =90°，它们的斜边长为 ，若? ABC 固定不动，? AFG 绕点 A 旋转， AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E (点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m，CD=n （1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对证明它们相似；（2）根据图1，求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围；（3）以? ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴， BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图2). 旋转? AFG ，使得 BD=CE ，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 ；(4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.





Answer 1

(1)? ABE ∽? DAE , ? ABE ∽? DCA ，证明见解析(2) （3）（1-  ，0），证明见解析(4）成立，证明见解析

解:(1)? ABE ∽? DAE , ? ABE ∽? DCA                                    1分 ∵∠ BAE =∠ BAD +45°,∠ CDA =∠ BAD +45°∴∠ BAE =∠ CDA   又∠ B =∠ C =45° ∴? ABE ∽? DCA        3分 (2)∵? ABE ∽? DCA   ∴  由依题意可知   ∴                                 5分 自变量n的取值范围为                6分 (3) ∵BD=CE， ∴BE=CD． ∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°， ∴△ABE≌△ACD． ∴AD=AE． ∵△BAE∽△CDA， ∴CD=AB= ，易得CO=1． ∴OD= -1，那么点D的坐标为（1-  ，0）． ∵BD=2- ，CE=2- ，DE=2-2BD=2  -2， ∴BD 2 +CE 2 =DE 2 ． (4)成立                        10分 证明:如图,将? ACE 绕点 A 顺时针旋转90°至? ABH 的位置,则 CE = HB , AE = AH , ∠ ABH =∠ C =45°,旋转角∠ EAH ="90°." 连接 HD ,在? EAD 和? HAD 中 ∵ AE = AH , ∠ HAD =∠ EAH -∠ FAG =45°=∠ EAD , AD = AD .∴? EAD ≌? HAD ∴ DH = DE  又∠ HBD =∠ ABH +∠ ABD =90° ∴ BD + HB = DH  即 BD ＋ CE = DE            12分 （1）根据“AAA”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE； （2）由（1）知，△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，则有△ABE∽△DCA，因为相似三角形的对应边成比例，所以， ，再把已知数据代入求解即可． （3）由BD=CE得BE=CD，那么可得△ABE≌△ACD，则AD=AE，加上（1）中的相似，可得CD="AB=" ，由OC=1得到点D的坐标，进而表示出所求的代数式． （4）可旋转一特殊角的度数，求解，得到一般结论．