Question

如图．在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）证明：PA∥

如图．在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：平面PAC⊥平面PDB；（3）求三梭锥D一ECB的体积．

Answer 1

（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点，
在△PAC中，EO是中位线，∴EO∥PA．
∵PA?平面EDB，EO?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC．
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PDB．
（3）取CD的中点F，连接EF，
则EF∥PD，EF=

1

2

PD=1，
∵PD⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD．
∴V_{三棱锥D-ECB}=V_{三棱锥E-BCD}=

1

3

×

1

2

×22×1=

2

3

．