Question

如图，已知AB为圆O的直径，PA、PC是圆O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°，PB交圆O于点D．（1）求∠APC的大

如图，已知AB为圆O的直径，PA、PC是圆O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°，PB交圆O于点D．（1）求∠APC的大小；（2）若PA=21，求PD的长．

Answer 1

（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠BAP=90°．∵∠BAC=30°，
∴∠CAP=∠PAB-∠CAB=60°．…（2分）
∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA=PC，
∴△PAC是等边三角形．…（4分）
∴∠APC=60°（5分）
（2）∵△PAC是等边三角形，
∴AC=PA=

21

，…（6分）
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°…（7分）
连接BC，在直角△ABC中，∵∠BAC=30°，∴AB=2

7

，…（8分）
∴在直角△PAB中，PB=

PA2+AB2

=7，…（9分）
∵PA是⊙O的切线，∴PA²=PD?PB，…（11分）
∴21=PD×7，解得PD=3．…（12分）

Answer 2

链接OC，A、C是切点，那么∠PAO 、∠PCO=90°。因为∠BAC=30°，OA=OC，所以∠BAC=∠ACO=30°，那么∠AOC=120°，那么四边形PAOC里面三个角∠AOC=120°，∠PAO 、∠PCO=90°，那么剩下的∠APC=60°。

Answer 3

1、连接OC，∠APC=180°-∠AOC，所以∠APC=∠BOC=2×∠BAC=60°
2、连接OP，∠APO=1/2×∠APC=30°，所以AO=PA/√3，AB=PA×2/√3

得出PB=PA*√(7/3)，由于直角△ABP∽△ABD，所以PB×BD=AB×AB，得出BD=PA*4/√21

所以PD=PB-BD=PA×(√(7/3)-4/√21)=PA×√(3/7)=13.748

Answer 4

∠APC=60°  ；PD长度=19  。

Answer 5

(1)连BC,OC.
PA、AB为圆O的直径,∠BAC=30°,
∴弧BC=60°，弧AC=120°，
∠AOC=120°，
PC是圆O的切线，A、C为切点,
∴PA⊥AB,PC⊥OC,
∴∠APC=180°-∠AOC=60°。
(2)PA=PC,∠APC=60°，
∴△ACP是等边三角形，
∴AC=PA=21,易知AC⊥BC,
∴AB=AC/(√3/2)=14√3，
PB=√(PA^2+AB^2)=7√21，
sin∠ABP=PA/PB=√21/7，
sin(∠ABP+30°)=√21/7*√3/2+2√7/7*1/2=5√7/14，
在△ABD中，由正弦定理，AD=（14√3*√21/7)/(5√7/14）=84/5，
在△PAD中由余弦定理，
PD^2=21^2+(84/5)^2-21*84/5=21^2*(1+16/25-4/5)=21^2*21/25,
∴PD=21√21/5.