Question

如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，CA平分∠BCD，DE ∥ AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．（1）求证：AB=DC

如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，CA平分∠BCD，DE ∥ AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．（1）求证：AB=DC；（2）若tanB=2，AB= 5 ，求边BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵DE ∥ AC， ∴∠BCA=∠E．（1分） ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCD=2∠BCA，（1分） ∴∠BCD=2∠E，（1分） 又∵∠B=2∠E， ∴∠B=∠BCD．（1分） ∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．（2分） （2）如图，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，则AF ∥ DG． 在Rt△AFB中，tanB=2，∴AF=2BF．（1分） 又∵AB= 5 ，且AB 2 =AF 2 +BF 2 ， ∴5=4BF 2 +BF 2 ，得BF=1．（1分） 同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．（1分） ∵AD ∥ BC，∴∠DAC=∠ACB． 又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC．∵DC=AB= 5 ，∴AD= 5 ．（1分） ∵AD ∥ BC，AF ∥ DG，∴四边形AFGD是平行四边形，∴FG=AD= 5 ．（1分） ∴BC=BF+FG+GC=2+ 5 ．（1分）