Question

已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+ log 1 2

已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+ log 1 2 x ]=3”，则方程f（x）=2+ x 的解的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．O

Answer 1

∵定义域为（O，+∞）的单调函数f（x）， 满足f[f（x）+ log 1 2 x ]=3，f（x）=2+ x ， ∴必存在唯一的正实数a， 满足 f(x)+ log 1 2 x=a ，f（a）=3，① ∴ f(a)+ log 1 2 a=a ，② 由①②得：3+ log 1 2 a=a ， log 1 2 a=a-3 ， a= ( 1 2 ) a-3 ，左增，右减，有唯一解a=2， 故 f(x)+ log 1 2 x=a=2 ， f（x）=2- log 1 2 x ， 由2- log 1 2 x =2+ x ，得 log 2 x= x ， ∴ x= 2 x ， 令 t= x ＞0 ，则t 2 =2 t ， 此方程只有两个正根t=2，或t=4， ∴x=4，或x=16． 故方程f（x）=2+ x 的解的个数是2． 故选B．