Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．（1）求证：△ABE≌△CAD；

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求证：∠BPQ=60°； （3）求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠CAB=∠ABC=60°，AB=AC，
在△ABE和△CAD中，

AB＝AC ∠BAE＝∠C AE＝CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．

（2）证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠DAC=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠DAC+∠BAP=∠BAC=60°．

（3）解：∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∵PE=1，
∴AD=BE=8+1=9．