Question

突然发现三角函数为什么会改变定义域？求解

sinx=cos*tanx sinx的定义域本来是R 写成cosx*tanx后定义域就不等于π/2k了 为什么会改变？ 还有万能代换sinx定义域是R 写成(2tanx/2)/1+tan^2(x/2)后定义域也会有限制 这是为什么？ 突然间想起来这个问题！

Answer 1

sinx=cosx*tanx ,这个公式是在左右两边都有意义的前提下才能成立的。此时左边sinx的定义域仍然是R,而右边tanx的定义域是x≠kπ+π/2,所以这个公式必须是在x≠kπ+π/2的前提下才能成立，因为只有当x≠kπ+π/2时，左右两边才能都有意义。否则，虽然左边有意义，但是右边没有意义，所以左右两边是不可能相等的。万能代换公式也是同样的道理。在一个等式中一边有意义，而另一边没有意义，这个等式就不可能成立，只有当两边都有意义时等式才有成立的可能性。

追问

我做一题不定积分题 」(1+sinx)/sinx(1+cos)dx 题目是用sinx和cos万能代换解决的 但是我想问一下 本身题目sinx 范围是不等于kπ 写成万能代换的形式之后范围就变成不等于π/2 这样不是改变了定义域吗

Answer 2

因为函数的特殊性。 如 y=tanx=sinx/cosx
对于分式的函数，分母不能为零，故 cos≠0，即x≠kπ+π/2.
故 y=tanx的定义域为 {x|x≠kπ+π/2}
就是满足各个式子的每一项都有意义即可。
而不是说改变定义域。

追问

我做一题不定积分题 」(1+sinx)/sinx(1+cos)dx 题目是用sinx和cos万能代换解决的 但是我想问一下 本身题目sinx 范围是不等于kπ 写成万能代换的形式之后范围就变成不等于π/2 这样不是改变了定义域吗

Answer 3

首先应该说定义域并没有变。这个问题可以从多个角度来分析。

既然你想起来这个问题，那我跟你讨论几个问题。
第一个问题是cos(π/2)·tan(π/2)=?
第二个问题是f(x)=x定义域当然是R, 那么f(x)=(1/x)·x²的定义域是什么？

追问

那我以后一遇到sinx 我想把他写成cosx*tanx 我是不是要写当x不等于π/2时 sinx=cosx*tanx

追答

并不需要，tan x 在x=π/2的地方没有定义，但是cos x· tan x在x=π/2的地方是有定义的，所以cos x· tan x 的定义域就是R

追问

哦 我再想想~ 谢谢你！

追答

嗯，有问题我们可以再讨论，不用客气~

Answer 4

tanx中的X比较特殊，不能是π/2k,如果位于分母上，还得再加限制，分母不为0