Question

幂级数求其和函数,为什么∑(n→∞)x^n=x/(1-x) 而不是∑(n→∞)x^n=1/(1-x)

原题是求∑n*x^(n-1) 的和函数 解法是先积分求得∑(n→∞)x^n=x/(1-x) 再求导，为什么是∑(n→∞)x^n=x/(1-x) 而不是∑(n→∞)x^n=1/(1-x)

Answer 1

是这样的:因为∑n*x^(n-1),n从1开始
积分求得∑(n→∞)x^n=x/(1-x),这个表达是n从0开始

我换个方法你就清楚了:
S=∑n*x^(n-1) ,x*S=∑n*x^n
S(1-x)=∑n*x^(n-1) -∑n*x^n (n从1开始)
=1+∑x^n
=∑x^n (n从0开始)
=1/(1-x)
结果S=1/(1-x)^2

上面讨论要首先肯定S存在,就是绝对号下x<1,否则和函数不存在

Answer 2

∑(i从1到n)x^i=x(1-x^n)/(1-x)
x的绝对值小于1且当n趋于无穷的时候，
∑(n→∞)x^n=x/(1-x)

上面说的是x的幂从1开始的

但如果幂从0开始的话就是
∑(n从0到∞)x^n=1/(1-x)
关键是幂从0开始还是从1开始

对于你这个原题n肯定是从1开始的，因为有一个(n-1)