Question

关于幂级数x^n的和函数问题（如图）

根据等比数列求和公式

x^(n-1) 的前首项 a1=x^(1-1)=1，公比 q=x，所以x^(n-1)和为 Sn=(1-x^n)/(1-x)
现在问题：是因为x在区间（-1，1），x^n的极限为0 ，所以例题中的Sn=1/(1-x) 吗？

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Answer 1

用等比级数公式，S=a1[1-q^(n+1)]/(1-q),令q=x，a1=1.然后当x<1时，令n→∞，得S=1/（1-x）。

求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值。对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。

Answer 2

是的，没错！就是这么回事。
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只是要稍微修改几个字：
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∑x^(n-1) 的首项 a1=x^(1-1)=1；
公比 q = x，所以 ∑x^(n-1) 和为 Sn=(1-x^n)/(1-x)；
因为 x 在区间（-1，1），x^n的极限为0 ，
所以例题中的 S∞ = 1/(1-x) 。
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这样就完整无缺了。
欢迎追问，有问必答。

Answer 3

那就是说求和函数，其实是求幂级数的部分和的极限了！