Question

如图,直三棱柱ABC–A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点，AA1=AC=CB=2,AB=2√2,

,⑴ 证明：BC1//平面A1CD 2 求直线EC1与面A1DC所成角的正弦值。 高二数学月考题求解答

Answer 1

(1)

延长CD至F，使DF=CD，分别连接BF、A1F，

已知，D为AB中点，所以，四边形ACBF是平行四边形，

所以，BF与AC平行且相等，

在直三棱柱ABC-A1B1C1内，显然有AC与A1C1平行且相等，

所以，BF与A1C平行且相等，

所以，四边形A1FBC1是平行四边形，

所以，BC1与A1F平行，

而A1F在平面ACD内，

所以，BC1与平面ACD平行。

(2)

将直三棱柱ABC-A1B1C1补成一个正方体ACBF-A1B1C1F1，取，FF1的中点G，连接A1G，

易证，A1G与C1E平行，则A1G与平面AFC的夹角即为所求夹角。

设点G到平面AFC的距离为h，VG_A1FC=(1/3)*h*S△A1FC=VC_A1GF=(1/3)*AC*S△A1GF

h*(1/2)*AB*AB*sin60°=AC*(1/2)*GF*AF

h*2*2*2*sin60°=2*1*2

h=1/√3

 A1G=√(A1F1*A1F1+F1G*F1G)=√5

则所求正弦值为：h/A1G=1/√15