Question

直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A,B两点，点C在圆O山，且角AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点

直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A,B两点，点C在圆O山，且角AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO?这样的P点有几个？并相应地求出角OCP的度数。

Answer 1

画图，当P在OB上时，三角形OPQ是钝角三角形，QO恒大于QP。
当P在OA上时，要使得QP=QO则OPQ是等腰三角形。又三角形OCQ是等腰的，
则角OCP=角OQP=X,由OPQ是等腰三角形得到：角POQ=(180-X)/2.
根据三角形OCQ内角和为180，X+30+X+(180-X)/2=180
所以 X=角OCP=40
只有一个这样的点。

Answer 2

角OCQ=角OQC, 角QOP=QPO 设角QOP=角1 角OCP=角2
则有：角OQP=180-2倍角1 角QOC=180-2倍角2
三角形QOC的内角和为180 由上面可得角QOP=70
那么就可以得到角OCP=40

Answer 3

这样的点有两个，一个在线段OA上，使∠OCP=50°；另一个在线段OB上，使∠OCP=10°