Question

给个步骤。详细一点 高等数学 无穷小的比较问题

Answer 1

x→0，x~sinx
√(1-xsinx)-1~√(1-sin²x)-1=|cosx|-1~-½x²
(-½x²)/x²=-½≠1
√(1-xsinx)-1是x²的同阶但不等价无穷小
选B

本题用到的等价无穷小：
x→0时，x~sinx，1-cosx~½x²

追问

在等价无穷小中x相当于可以转换为sinx吗

追答

是的，两者是等价无穷小。

追问

1-cosx~½x²可以由x~sinx转换来吗。就像代数运算那样

追答

是的。是运用二倍角公式，再由x~sinx得来的：
1-cosx=2sin²(x/2)
x→0，sin(x/2)~x/2
1-cosx=2sin²(x/2)~2·(x/2)²=2·x²/4=½x²
1-cosx~½x²
推导是这样推导，不过，这个是不需要推导的，有大概十几个等价无穷小是需要按公式记的，不需要推导。1-cosx~½x²是其中的一个。

追问

好的。非常感谢