Question

函数f(x)＝ax2＋bx满足：1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围．

函数f(x)＝ax2＋bx满足：1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围．

Answer 1

由f (x)＝ax2＋bx得
f (-1)＝a-b，
f (1)＝a＋b，
f (-2)＝4a-2b
∴a＝ [f (1)＋f(-1)]，
b＝ [f (1)-f(-1)]
则f(-2)＝2[f (1)＋f (-1)]-[f (1)-f (-1)]
＝3f (-1)＋f (1)
由条件1≤f(-1)≤2，2≤f (1)≤4
可得3×1＋2≤3f(-1)＋f(1)≤3×2＋4
∴f (-2)的取值范围是5≤f (-2)≤10.

Answer 2

由 f(-1)=a-b，f(1)=a+b 以及 f(-2)=4a-2b，设 f(-2)=mf(-1)+nf(1).
则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b.
因此 m+n=4，n-m=-2，从而 m=3，n=1.
由 1≤f(-1)=a-b≤2，2≤f(1)=a+b≤4，所以
3≤3f(-1)≤6，2≤f(1)≤4，因此 5≤3f(-1)+f(1)≤10，即 5≤f(-2)≤10.
从而 f(-2) 的取值范围是 5≤f(-2)≤10.

Answer 3

f(-1)=a-b,1≤f(-1)≤2
f(1)=a+b,2≤f(1)≤4

∵f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)
∴3≤3f(-1)≤6
3+2≤f(-2)≤6+4
5≤f(-2)≤10