Question

已知函数f(x)=alnx+1/x，a∈R，若f(x)有极值，求a的取值范围。

Answer 1

(0，+∞)
解：
定义域：(0，+∞)
f'(x)
=(alnx+1/x)'
=a/x-1/x²
=(ax-1)/x²
(1) a≤0时，
∵ a≤0，x>0
∴ -ax-1<0
∴ f'(x)<0
∴ f(x)在开区间(0，+∞)上单调递减
∴ f(x)在(0，+∞)上无极值
(2) a>0时，
0<x<1/a时，f'(x)<0，f(x)↘；
x=1/a时，f'(x)=0；
x>1/a时，f'(x)>0，f(x)↗；
所以，
f(x)在x>1/a处取得极小值
综上，a的取值范围是(0，+∞)
PS：
附上y=2lnx+1/x的函数图像

追答

Answer 2

解由f(x)=alnx+1/x知x＞0
求导f'(x)=a/x-1/x^2
由f(x)有极值
知f'(x)=0在x＞0时有解
则a/x-1/x^2=0
即(ax-1)/x^2=0
解得x=1/a
又由x＞0
则1/a＞0
解得a＞0

Answer 3

就换个