Question

∫∫∫y√(1-x²)dV 其中V是由曲面y=-√（1-x²-z²），x²＋z²＝1，y＝1所围成

∫∫∫y√(1-x²)dV 其中V是由曲面y=-√（1-x²-z²），x²＋z²＝1，y＝1所围成的区域。

Answer 1

答：28/45

考虑zOx面的积分
Ω为一个钟形的立体，底面是下半球体，顶点是平面
- √(1 - x² - z²) ≤ y ≤ 1
Dzx为圆域：x² + z² ≤ 1，- 1 ≤ x,z ≤ 1
∫∫∫_(Ω) y√(1 - x²) dydzdx
= ∫∫_(Dzx) √(1 - x²) dzdx ∫(- √(1 - x² - z²,1) y dy
= ∫∫_(Dzx) √(1 - x²) dzdx * (1/2)y²|(- √(1 - x² - z²,1)
= (1/2)∫∫_(Dzx) √(1 - x²) * [ 1 - (1 - x² - z²) ] dzdx
= (1/2)∫∫_(Dzx) √(1 - x²) * (x² + z²) dzdx
被积函数关于x或z都是偶函数，而Dzx关于x轴或z轴都对称，
所以利用对称性，结果为第一象限的4倍，即x,z ≥ 0的部分
= (1/2)(4)∫∫_(Dzx) √(1 - x²) * (x² + z²) dzdx
= 2∫(0,1) √(1 - x²) dx ∫(0,√(1 - x²) (x² + z²) dz
= 2∫(0,1) √(1 - x²) * (1/3)√(1 - x²)(2x² + 1) dx
= (2/3)∫(0,1) (1 - x²)(2x² + 1) dx
= (2/3)∫(0,1) (- 2x⁴ + x² + 1) dx
= (2/3)(- 2 * 1/5 + 1/3 + 1)
= 28/45