Question

已知Z+1/Z=2cosθ 求证Z^m+1/Z^m=2cosmθ

Answer 1

证明 1
令Z＝r（cosα＋isinα）,则：
1/Z＝（1/r）［1/（cosα＋isinα）］＝（1/r）（cosα－isinα）/［（cosα）^2－（isinα）^2］
＝（1/r）（cosα－isinα）.
∴Z＋1/Z
＝r（cosα＋isinα）＋（1/r）（cosα－isinα）
＝（r＋1/r）cosα＋（r－1/r）isinα.
而Z＋1/Z＝2cosθ,∴α＝θ,且r＋1/r＝1、r－1/r,得：r＝1.
∴Z＝cosθ＋isinθ.
∴Z^m＝cosnθ＋isinnθ.
∴Z^m＋1/Z^m
＝cosnθ＋isinnθ＋1/［cosnθ＋isinnθ］
＝［（cosnθ＋isinnθ）^2＋1］/［cosnθ＋isinnθ］
=Z＋1/Z=2cosθ
证明 2
由Z+1/Z=2cosθ，有Z^2-2(cosθ)z+1=0，∴Z=cosθ±isinθ=e^(±iθ)【欧拉公式，i^2=-1】。
∴Z^m=e^(±imθ)=cosmθ±isinmθ。显然，不论取“+”或者“”-”号时，均有Z^m+1/Z^m=2cosmθ成立。