Question

高中数学解析几何一题

已知⊙O:X²+y²=1与y=2x+m相交于A、B且OA、OB与x轴正半轴所成的角为α、β（β>π），求sin(α+β)的值
我不是不会做，而是没时间做，就不用提醒我怎么做了，谢谢！

Answer 1

解：因为OA、OB与x轴正半轴所成的角为α、β
所以设A(cosa,sina),B(cosb,sinb)
又A、B在直线y=2x+m上，
所以(sinb-sina)/(cosb-cosa)=2
2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]/{-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]}=2(和差化积）
即tan[(a+b)/2]=-1/2
又sin(a+b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a+b)/2]/{cos^2[(a+b)/2]+sin^2[(a+b)/2]}
=2tan[(a+b)/2]/{1+tan^2[(a+b)/2]}
=-4/5

Answer 2

等下哈！

图片还上不来！

Answer 3

画个图，sina=Ya,cosa=Xa.sinb=Yb,cosb=Xb.
所以,sin(a+b)=Xb*Ya+Xa*Yb=Xb(2Xa+m)+Xa(2Xb+m)=4XaXb+m(Xa+Xb)
⊙O:X²+y²=1与y=2x+m相交于A、B
将直线代入圆：5x^2+4mx+m^2-1=0
韦达定理：Xa+Xb=-4m/5,XaXb=5/(m^2-1)
所以，sin(a+b)=4XaXb+m(Xa+Xb)
=4*5/(m^2-1)+m*(-4m/5)
=20/(m^2-1)-4m^2/5

Answer 4

解：设A(x1,y1),B(x2,y2)
联立直线和圆的方程整理得：5x^2+4mx+m^2-1=0
由韦达定理得：x1+x2=-4m/5; x1*x2=(m^2-1)/5
由三角函数的定义得 ：sinα=x1 cosα=y1; sinβ=x2 cosβ=y2
所以 sin(α+β)=x1*y2+x2*y1=x1*(2*x2+m)+x2*(2*x1+m)
=4(x1*x2)+m(x1+x2)
=(4m^2-4)/5-4*(m^2)/5
=-4/5

Answer 5

先算出交点AB的解出来。由于是单位圆，那么x1 ，x2，y1，y2就是余弦和正弦值。将所求项按两角和公式展开后，代入即得。