Question

为什么an+（1/an）大于等于2

Answer 1

有两种方法可以证明an+（1/an）大于等于2，如下：

算法一：

an必须大于0，根据a+b大于等于二倍的根号下ab,

把an看成a , 把1/an看成b,

故an+（1/an）大于等于二倍的根号下an乘以1/an，等于2

即得出an+（1/an）大于等于2

算法二：

∵数列{an}中，a1=1，an+1=2an-3， ∴an+1-3=2（an-3），a1-3=-2， ∴an+1?3 an?3 ＝2

∴{an-3}是首项为-2，公比为2的等比数列， ∴an?3＝(?2)?2n?1＝?2n， ∴an＝3?2n．

扩展资料：

算法一运用的是基本不等式的思想，基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。具体内容如下：

公式 ，当且仅当  时取等号

其中  称为  的算术平均数，  称为  的几何平均数。

变形得，当且仅当  时取等号。

算法二运用的是数列的思想，数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。

参考资料：百度百科-an+（1/an）大于等于2

Answer 2

基本不等式：(a-b)²≥0，a²+b²-2ab≥0，a²+b²≥2ab，这是基本不等式推导过程。下面是变式：(√a)²+(√b)²≥2√(ab)，得a+b≥2√(ab)。

代入an和1/an进入a+b≥2√(ab)，就可以得到an+（1/an）≥2。

两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

扩展资料

公式 

当且仅当a=b时取等号其中  称为a，b的算术平均数，  称为a，b的几何平均数。

变形

当且仅当a=b时取等号.

参考资料：百度百科基本不等式

Answer 3

这是通过基本不等式而得出的。

首先基本不等式为：a+b≥2√ab

替代后则为，an+1/an≥2√(an*1/an)

所以：an+1/an≥2

拓展资料：

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

公式

 

当且仅当  时取等号

其中  称为  的算术平均数，

 称为 的几何平均数。

变形

当且仅当  时取等号

参考资料：

百度百科-基本不等式

Answer 4

首先由(根号a-根号b)^2>=0，得出a+b>=2倍的根号(ab)，b为任意数，当b=1/a时，所以有a+1/a>=2。

补充：提问题目中应添加an>0这一个必要条件。

拓展资料：

一个正数与其倒数的和不小于 2 。用数学式子写出来就是：x + 1/x ≥ 2 。
这是均值定理的简单应用，也可以直接证明：x - 2 + 1/x = (√x - 1/√x)^2 ≥ 0 。

均值定理，又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。

均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。

Answer 5

∵数列{an}中，a1=1，an+1=2an-3， ∴an+1-3=2（an-3），a1-3=-2， ∴an+1?3 an?3 ＝2， ∴{an-3}是首项为-2，公比为2的等比数列， ∴an?3＝(?2)?2n?1＝?2n， ∴an＝3?2n．故选：C．