A为实对称矩阵，求正交矩阵Q，使Q∧-1AQ为对角矩阵 A=1 2 0 -2 2 -2 ; 0 -2 3 A=

A为实对称矩阵，求正交矩阵Q，使Q∧-1AQ为对角矩阵A=120-22-2;0-23A=2-1-11-121-1:-112-11-1-12... A为实对称矩阵，求正交矩阵Q，使Q∧-1AQ为对角矩阵
A=1 2 0
-2 2 -2 ;
0 -2 3

A= 2 -1 -1 1
-1 2 1 -1 :
-1 1 2 -1
1 -1 -1 2 展开

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#热议# 生活中有哪些实用的心理学知识？

zzllrr小乐

高粉答主

2017-06-30 · 小乐数学，小乐阅读，小乐图客等软件原作者，“zzllrr小乐...

zzllrr小乐

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|λI-A|
=

λ-2 1 1 -1

1 λ-2 -1 1

1 -1 λ-2 1

-1 1 1 λ-2

= (λ-1)3(λ-5)

= 0
解得λ = 1（三重），5

将特征值1代入特征方程(λI-A)x=0

-1 1 1 -1

1 -1 -1 1

-1 1 1 -1

第1行交换第2行

1 -1 -1 1

-1 1 1 -1

1 -1 -1 1

-1 1 1 -1

第4行, 减去第1行×-1

1 -1 -1 1

-1 1 1 -1

1 -1 -1 1

0 0 0 0

第3行, 减去第1行×1

1 -1 -1 1

-1 1 1 -1

0 0 0 0

第2行, 减去第1行×-1

1 -1 -1 1

0 0 0 0

增行增列，求基础解系

1 -1 -1 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1

第1行, 加上第4行×-1

1 -1 -1 0 0 0 -1

0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1

第1行, 加上第3行×1

1 -1 0 0 0 1 -1

0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1

第1行, 加上第2行×1

1 0 0 0 1 1 -1

0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1

得到属于特征值1的特征向量
(1,1,0,0)T
(1,0,1,0)T
(-1,0,0,1)T
将特征值5代入特征方程(λI-A)x=0

3 1 1 -1

1 3 -1 1

1 -1 3 1

-1 1 1 3

第1行交换第2行

1 3 -1 1

3 1 1 -1

1 -1 3 1

-1 1 1 3

第4行, 减去第1行×-1

1 3 -1 1

3 1 1 -1

1 -1 3 1

0 4 0 4

第3行, 减去第1行×1

1 3 -1 1

3 1 1 -1

0 -4 4 0

0 4 0 4

第2行, 减去第1行×3

1 3 -1 1

0 -8 4 -4

0 -4 4 0

0 4 0 4

第4行, 减去第2行×(-12)

1 3 -1 1

0 -8 4 -4

0 -4 4 0

0 0 2 2

第3行, 减去第2行×12

1 3 -1 1

0 -8 4 -4

0 0 2 2

第4行, 减去第3行×1

1 3 -1 1

0 -8 4 -4

0 0 2 2

0 0 0 0

第3行, 提取公因子2

1 3 -1 1

0 -8 4 -4

0 0 1 1

0 0 0 0

第2行, 提取公因子-8

1 3 -1 1

0 1 -12 12

0 0 1 1

0 0 0 0

第1行,第2行, 加上第3行×1,12

1 3 0 2

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 0

第1行, 加上第2行×-3

1 0 0 -1

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 0

增行增列，求基础解系

1 0 0 -1 0

0 1 0 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

第1行,第2行,第3行, 加上第4行×1,-1,-1

1 0 0 0 1

0 1 0 0 -1

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 1

得到属于特征值5的特征向量
(1,-1,-1,1)T 得到特征向量矩阵P =

1 1 -1 1

1 0 0 -1

0 1 0 -1

0 0 1 1

并且有P-1AP = Λ = diag(1,1,1,5)
矩阵P施密特正交化

1 1 -1 1

1 0 0 -1

0 1 0 -1

0 0 1 1

第2列，减去第1列的(C2,C1)(C1,C1)=12倍然后第2列乘以2

1 1 -1 1

1 -1 0 -1

0 2 0 -1

0 0 1 1

第3列，分别减去前两列的(C3,Ci)(Ci,Ci)倍其中i=1,2，然后第3列乘以3

1 1 -1 1

1 -1 1 -1

0 2 1 -1

0 0 3 1

单位化，得到正交矩阵Q =

√22 √22 -√22 12

√22 0 0 -12

0 √22 0 -12

0 0 √22 12

并且有Q-1AQ = Λ = diag(1,1,1,5)
所求正交变换是X=QY，Y=QTX，且有
XTAX=(QY)TAQY=YTQTAQY=YTdiag(1,1,1,5)Y
y1=√22x1+√22x2
y2=√22x1+√22x3
y3=-√22x1+√22x4
y4=12x1-12x2-12x3+12x4