1/(x+根号下x^2+x+1)的不定积分
令 x+√(x²+x+1)=u，则x²+x+1=(u-x)²=u²-2ux+x²；故得x+1=u²-2ux;
(2u+1)x=u²-1；∴x=(u²-1)/(2u+1)；
dx=[2u(2u+1)-2(u²-1)]du/(2u+1)²=[(2u²答团指+2u+2)/(2u+1)²]du；故：
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不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
1/根号下(x^2+1)的不定积分解答过程如下：
其中运用到了换元法，其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。
扩展资料：
分部积分法
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu
两边积分，得分部积分公式
∫udv=uv-∫vdu。 ⑴
称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v
一般来说，u,v 选取的原则是：
1、积分容易者选为v。
2、求导简单者选为u。
例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，禅御积分容易者先积分。实际上是两次积分。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成贺盯岩一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．
可以证明，任何真分式总则枣能分解为部分分式之和。
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
令 x+√(x²+x+1)=u，蚂启则x²+x+1=(u-x)²=u²-2ux+x²；故得蔽衫x+1=u²-2ux;
(2u+1)x=u²-1；∴x=(u²宏物腔-1)/(2u+1)；
dx=[2u(2u+1)-2(u²-1)]du/(2u+1)²=[(2u²+2u+2)/(2u+1)²]du；故：
∫√(1+x²埋判坦) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫弯桐sec³tdt+∫sectdt
∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C
∴原式=(1/2)[x*√冲判(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
C为任意常数
