Question

一道椭圆的圆锥曲线题目

一道椭圆的圆锥曲线题目我有思路；也许我的化简过程有问题；我想不出来怎么说明k会有三个不同的取值。

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Answer 1

MN水平，PMN关于y对称，容易想到。假设M有左端顺时针旋转，PM先变长，再变短，相应地，PN变长再变短，变化中，还有一个歪的解，根据对称性，就有两个歪的。对应的k的方程，应该是3次的。

追答

设PM，y=kx-1，PN，y=-x/k-1
x²/a²十y²=1
x²/a²十（kx-1）²=1
x²/a²十k²x²-2kx=0
x（1/a²十k²）=2k
x=2k/（1/a²十k²）=2ka²/（1十k²a²）
y=2k²a²/ （1十k²a²）-1
PM²=[ 2ka²/（1十k²a²） ]²十[ 2k²a²/ （1十k²a²）-1十1 ]²
= [ 2ka²/（1十k²a²） ]²十[ 2k²a²/ （1十k²a²）]²
= [ 2ka²/（1十k²a²） ]²（1十k²)

x²/a²十（-x/k-1）²=1
x²/a²十x²/k²十2x/k=0
x（1/a²十1/k²）=-2/k
x=-（2/k）/（1/a²十1/k²）=-2ka²/（k²十a²）
y=2a² /（k²十a²）-1
PN²=[ 2ka²/（k²十a²） ]²十[ 2a² /（k²十a²） ]²
=（k²十1） [ 2a² /（k²十a²） ]²

相等:
1/（k²十a²）²=k²/（1十k²a²）
1十k²a²=k²（k^4十2k²a²十a^4）
k^6十2k^4×a²十（a^4-a²）k²-1=0