Question

线性代数问题求解

图中这道题如何求解？麻烦写一下过程我一直没解出来

Answer 1

参考图中知识点，将矩阵表达如下

对应第一问，要无解，可知组合矩阵第一行和第二行肯定非线性，其秩至少是2，单独看矩阵A,第二三行肯定无法线性表示第一行，所以矩阵A的秩也是最少为2，有图一条件，则组合矩阵的秩必须是3
a-1不能为0，a不为1即答案（可自行验证）

第二问
唯一解就是秩都是3，不用解释这个简单，就是
a-1≠0
a≠0

第三问
就是矩阵A和组合矩阵的秩小于3，前面已经分析至少是2，只能是最后一行全0
a=1

追问

无解不是增广矩阵秩不等于系数矩阵吗？你的行变换的矩阵和我化的一样，但是增广矩阵秩和系数矩阵秩始终一样

你给出的1,2问a都不等于1？

2，3问我都知道,主要第1问增广矩阵秩和系数矩阵不等时a没有满足条件的值

追答

第一问说错了，应该是a=0

第一问最开始笔误，打错字。

追问

a=0,增广矩阵等于系数矩阵等于3

追答

系数矩阵秩小于增广矩阵秩，按前面分析你也知道应该是系数矩阵秩为2，增广为3，
首先看系数矩阵秩为2，只能是第二三行线性相关，a=0

追问

怎么无解？

口误：a=0时，增广矩阵秩=系数矩阵秩=2，怎么无解？

追答

这就是你长期只盯着增广矩阵看的结果，你单独化简增广矩阵和系数矩阵看看，把两个矩阵单独放一边，就会发现自己弄错的地方，如果3分钟还不能发现问题再追问

追问

其实我写的就是你说的答案，但是我被室友带懵了我自己的怀疑

追答

a是0时
增广矩阵第一行不谈
第二行最后两个元素是-1和1
第三行第三个元素是-1
三行都线性无关

追问

好吧~_~

a=0时，增广矩阵秩3，系数矩阵秩2，行变换时r2减r3，r2交换r3

追答

yes

追问

这么简单问题被我室友带偏，结果我自己还怀疑自己答案错的，一直苦思冥想😂

追答

不考虑证明问题，线性代数和矩阵论确实都是最简单的

Answer 2

A的秩等于n-1，则其伴随矩阵的秩等于1，此时A的行列式等于0，所以A乘以A的伴随矩阵就等于A的行列式乘以E，从而等于0，所以r(A)+r(A的伴随）小于等于n至于为什么两个乘积等于0的矩阵的秩的和小于等于n，要从线性方程组的解空间的角度来考虑，AB=0，则B的列向量即为AX=0的解，其线性无关的解的个数必然小于等于AX=0的解空间中基础解系的个数，从而n-r(A)大于等于r(B)，故r(A)+r(B)小于等于n