Question

如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．

(1)求证：AB×AF=CB×CD（2）已知AB=15cm，BC=9cm,P是射线DE上的动点。设DP=xcm,四边形BCDP的面积为ycm²。
①求y关于x的关系式
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值
直接做（2）吧

Answer 1

(2).
1.BC=9，AB=15，AC⊥BC，∴AC=12
过点P做PH⊥BC交BC于H，∵DE⊥AC，AC⊥BC，∴DE‖BC，∴四边形DPCB为梯形，∴y=（DP+BC）*PH/2= 3（9+x）

2。∵AD=DC，∴△PAC为等腰三角形，∴PC=PA
S△PBC=PC+PB++BC=PA+PB+BC
BC固定为9，∴当P点与E点重合时，PA+PB最小，为一条直线即AB
∴x=DE △AEF∽△ADE AF=6，AE=7.5 ∴EF=4.5 ∴DE/AE=AE/EF
推出DE=12.5

∴x=12.5cm 此时y=3（9+x）=64.5cm2

Answer 2

（1）由AD=CD，AC⊥DF，
∴DF是AC的垂直平分线，即AF=FC
又△ABC中，∠ACB=90°，△ADE中，∠DAE=90°，∠CAB+∠DAC=90°，∠DAC=∠DCA，并且∠DCA+∠CDF=90°，
∴∠CAB=∠CDF，∴△ABC∽△DFC，∴AB：CD=BC：CF
∴AB：CD=BC：CF=BC：AF，即AB*AF=CD*CB
（2）①因为DE‖BC，∴四边形BCDP是平行四边形。
AC＝√（15²－9²）＝12，CF＝12×1/2＝6，Y＝1/2*（9＋x）×6＝3x＋27
②∵AD=DC，∴△PAC为等腰三角形，
∴PC=PA S△PBC=PC+PB+BC=PA+PB+BCBC固定为9，∴当P点与E点重合时，PA+PB最小，为一条直线即AB
∴x=DE △AEF∽△ADE AF=6，AE=7.5 ∴EF=4.5
∴DE/AE=AE/EF推出DE=12.5∴x=12.5cm
此时y=3（9+x）=64.5cm²